Kvadraten gör allt positivt, bråk mellan 0 och 1 krymper när de kvadreras, och minustecken vänder olikheter — de tre teckenreglerna som avgör flest KVA-uppgifter.
Kvadraten suddar tecknet
x² är aldrig negativt: (−3)² = 9, precis som 3² = 9. Ur x² = 9 följer alltså att x är 3 ELLER −3 — kvadraten kan inte tala om vilket. I en jämförelse betyder det att x² > 0 inte säger något om x:s tecken. Skilj också (−3)² = 9 från −3² = −9: utan parentes kvadreras bara talet, inte minustecknet.
Mellan 0 och 1 krymper kvadraten
För tal större än 1 gör kvadrering talet större: 2² = 4. Men för tal mellan 0 och 1 gör den talet MINDRE: (1/2)² = 1/4. Halva gånger halva är en fjärdedel. Det är KVA:s favoritöverraskning — 'x² jämfört med x' har olika svar beroende på var x ligger.
Minus vänder olikheten
Multiplicerar eller delar du båda sidor av en olikhet med ett negativt tal vänder olikhetstecknet: av 2 < 3 följer −2 > −3. På tallinjen ligger −5 till vänster om −2 — 'störst' bland negativa tal är det som ligger närmast noll. Jämför negativa kvantiteter genom att tänka läge på tallinjen, inte sifferstorlek.
Vi räknar ett exempel
Det gäller att −1 < x < 0. Kvantitet I: x². Kvantitet II: x. Vilket gäller?
- x är negativt, så kvantitet II är ett negativt tal.
- x² är en kvadrat och därmed positiv, oavsett x.
- Positivt är alltid större än negativt — kvantitet I är störst.
- Test: x = −1/2 ger I = 1/4 och II = −1/2. I störst, som väntat.
Strategi på provet
Ser du en kvadrat i KVA: fråga dig direkt om variabeln kan vara negativ eller ligga mellan 0 och 1 — det är där svaren vänder.
Skriv aldrig om en olikhet med division utan att veta divisorns tecken. Vet du det inte: dela upp i fall eller testa värden.
Testa dig själv
x = −3. Vad är x² och −x²?
- 9 och −9
- 9 och 9
- −9 och 9
- −9 och −9
Visa svaret
Rätt svar: 9 och −9. x² = (−3)² = 9 — kvadraten suddar tecknet. −x² betyder minus (x²), alltså −9. Parenteserna gör hela skillnaden.