Kvadraten suddar tecknet
x² är aldrig negativt: (−3)² = 9, precis som 3² = 9. Ur x² = 9 följer alltså att x är 3 ELLER −3 — kvadraten kan inte tala om vilket. I en jämförelse betyder det att x² > 0 inte säger något om x:s tecken. Skilj också (−3)² = 9 från −3² = −9: utan parentes kvadreras bara talet, inte minustecknet.
- En kvadrat är aldrig negativ: (−3)² = 9.
- x² = 9 ger x = 3 eller x = −3 — kvadraten minns inte tecknet.
- (−3)² = 9 men −3² = −9 — parentesen avgör.
Mellan 0 och 1 krymper kvadraten
För tal större än 1 gör kvadrering talet större: 2² = 4. Men för tal mellan 0 och 1 gör den talet MINDRE: (1/2)² = 1/4. Halva gånger halva är en fjärdedel. Det är KVA:s favoritöverraskning — 'x² jämfört med x' har olika svar beroende på var x ligger.
- Över 1: kvadraten växer — 2² = 4.
- Mellan 0 och 1: kvadraten krymper — (1/2)² = 1/4.
- Därför är 'x² mot x' olika svar beroende på var x ligger.
Minus vänder olikheten
Multiplicerar eller delar du båda sidor av en olikhet med ett negativt tal vänder olikhetstecknet: av 2 < 3 följer −2 > −3. På tallinjen ligger −5 till vänster om −2 — 'störst' bland negativa tal är det som ligger närmast noll. Jämför negativa genom att tänka läge på tallinjen, inte sifferstorlek.
- Gånger/delat med negativt tal: olikheten vänder — 2 < 3 men −2 > −3.
- Bland negativa tal är det närmast noll som är störst: −2 > −5.
- Tänk tallinje, inte sifferstorlek.
Testa dig själv
x = −3. Vad är x² och −x²?
Visa svaret
Rätt svar: A — 9 och −9. x² = (−3)² = 9 — kvadraten suddar tecknet. −x² betyder minus (x²), alltså −9. Parenteserna gör hela skillnaden.
Vi tar ett exempel
Det gäller att −1 < x < 0. Kvantitet I: x². Kvantitet II: x. Vilket gäller?
- x är negativt, så kvantitet II är ett negativt tal.
- x² är en kvadrat och därmed positiv, oavsett x.
- Positivt är alltid större än negativt — kvantitet I är störst.
- Test: x = −1/2 ger I = 1/4 och II = −1/2. I störst, som väntat.
Snabbare på provet
Ser du en kvadrat i KVA: fråga dig direkt om kan vara negativ eller ligga mellan 0 och 1 — det är där svaren vänder.
Snabbare på provet
Skriv aldrig om en olikhet med division utan att veta divisorns tecken. Vet du det inte: dela upp i fall eller testa värden.