Därför är det värt att kunna
Provet älskar uttryck som (x + 3)² och (a + b)(a − b). Den som multiplicerar ihop dem för term hinner — men den som ser mönstret direkt sparar en halv minut per uppgift och gör färre slarvfel. Reglerna är dessutom nyckeln åt andra hållet: att känna igen a² − b² i ett uttryck och kunna faktorisera det löser uppgifter som annars ser omöjliga ut.
Första och andra kvadreringsregeln
Att kvadrera en parentes betyder att multiplicera den med sig själv: (a + b)² = (a + b)(a + b). Multiplicerar man ut det får man alltid samma tre termer: (a + b)² = a² + 2ab + b². Med minus i parentesen byter mittentermen tecken: (a − b)² = a² − 2ab + b². Termen 2ab kallas mellantermen — den uppstår för att a och b möter varandra två gånger i multiplikationen.
- (a + b)² = a² + 2ab + b² — tre termer, aldrig två.
- (a − b)² = a² − 2ab + b² — bara mellantermen byter tecken.
- Mellantermen 2ab finns för att a och b möts två gånger.
Den glömda mellantermen
(a + b)² = a² + b² — "delas ut" på båda termerna.
(a + b)² = a² + 2ab + b². Testa med tal: (2 + 3)² = 25, men 2² + 3² = 13. Mellantermen 2 · 2 · 3 = 12 är hela skillnaden.
Konjugatregeln
När parenteserna har samma termer men olika tecken tar mellantermerna ut varandra: (a + b)(a − b) = a² − b². Bara två termer blir kvar. Regeln används oftast baklänges: ser du en mellan två kvadrater — som x² − 25 eller 41² − 39² — kan den skrivas om som en : (x + 5)(x − 5) respektive (41 + 39)(41 − 39) = 80 · 2 = 160. Ingen av kvadraterna behövde räknas ut.
- (a + b)(a − b) = a² − b² — mellantermerna tar ut varandra.
- Baklänges: a² − b² = (a + b)(a − b) — en differens av kvadrater går alltid att faktorisera.
- 41² − 39² = (41 + 39)(41 − 39) = 160 — utan att kvadrera något.
Vi tar ett exempel
Förenkla (x + 4)² − (x − 4)².
- Utveckla båda med kvadreringsreglerna: (x + 4)² = x² + 8x + 16 och (x − 4)² = x² − 8x + 16.
- Subtrahera: (x² + 8x + 16) − (x² − 8x + 16) = 16x.
- Snabbare väg: uttrycket är en differens av kvadrater, så konjugatregeln gäller med a = x + 4 och b = x − 4.
- (a + b)(a − b) = (2x)(8) = 16x — samma svar på en rad.
Svar16x
Snabbare på provet
Multiplicera ut parenteserna term för term och samla ihop.
Känn igen mönstret först. Två lika parenteser → kvadreringsregel. Samma termer med olika tecken → konjugatregeln. En differens av kvadrater → faktorisera direkt.
Testa dig själv
Vad är 51² − 49²?
Visa svaret
Rätt svar: C — 200. Konjugatregeln baklänges: 51² − 49² = (51 + 49)(51 − 49) = 100 · 2 = 200. Att räkna ut 2 601 − 2 401 ger samma sak — men tar längre tid och bjuder på fler slarvfel.
På provet
I XYZ dyker reglerna upp som förenklingar och ; i KVA som storleksjämförelser där båda innehåller kvadrater. Signalen är alltid densamma: en kvadrerad parentes eller en differens mellan två kvadrater betyder att uppgiften är byggd för mönstret, inte för räknande.