Omskrivningar som avslöjar storleksordning

Skriv om till samma form

Två kvantiteter i olika form — ett bråk mot en decimal, 2¹⁰⁰ mot 4⁴⁹ — jämförs genom att båda skrivs i SAMMA form. Bråk får gemensam nämnare, potenser samma bas (4⁴⁹ = 2⁹⁸), rötter kvadreras. När formen är gemensam återstår att jämföra två tal av samma sort — trivialt.

• Olika form? Skriv om till samma: bråk → gemensam nämnare, potenser → samma bas.
• 4⁴⁹ = (2²)⁴⁹ = 2⁹⁸ — plötsligt jämförbar med 2¹⁰⁰.
• Samma form → jämförelsen är trivial.

Kvadreringsreglerna är omskrivningsverktyg

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² och konjugatregeln (a + b)(a − b) = a² − b². I KVA används de åt båda hållen: utveckla för att jämföra term för term, eller känna igen mönstret a² − b² och faktorisera. Notera särskilt att (a + b)² INTE är a² + b² — mellantermen 2ab är hela skillnaden.

• (a + b)² = a² + 2ab + b² — glöm aldrig mellantermen.
• Konjugatregeln: (a + b)(a − b) = a² − b².
• Reglerna används åt båda hållen — utveckla eller faktorisera.

Jämför med en referens

Ibland behöver leden inte jämföras med varandra utan med något tredje: är båda större eller mindre än 1? Än 0? Ett bråk är större än 1 precis när täljaren är större än nämnaren; en produkt är positiv när faktorerna har samma tecken. Två snabba referenskoller avgör ofta hela uppgiften.

• Jämför båda leden mot 1 eller mot 0 i stället för mot varandra.
• Bråk > 1 precis när täljaren > nämnaren.
• Produkt positiv när faktorerna har samma tecken.

Testa dig själv

Vi tar ett exempel